あみだくじがかぶらない・重ならない証明｜同じところにいかない理由は？

「あみだくじ」はなぜかぶらないんでしょうか？

あみだくじが同じ所にいかない理由の証明は？

アミダクジの結果が絶対に重ならないのはどうしてでしょうか？

あみだくじがかぶらない・重ならない証明｜同じところにいかない理由は？

アミダくじの結果はどうして重複・被らないのかというと、横に引いた棒が、「交換」という動作をするからです。

必ず交換という作業を行うことになるので、重複はありません。上に戻るとか、そういう反則ワザが無ければですが。

もう少し具体的に書くと、あみだくじとは

H

のようになっている部分の集合であると考えることができます。

右上からきたものは左下に、左上からきたものは右下に行くようになっていますね。つまり、右と左の交換ができました。これをいくら組み合わせようとも「交換」の作業のみから成り立つわけですので、重複が生じることはありません。

プレゼント交換みたいなもんでしょうか。ズルなしで出会った人とプレゼント交換をする、これを何回か繰り返せ、というものがあみだくじです。

まとめ：あみだくじがかぶらない・重ならない証明｜同じところにいかない理由は？

あみだくじが成り立つ証明を背理法で説明をすると、

任意のあみだくじを考える。

(1)最初に、N個のスタートの中から一箇所をスタート。として選ぶ。

(2)そのスタートから“あみだくじ”を始めると、同じスタートから始める限りは、 同じゴールに着くはずである。

(3)このとき別々の2つのスタートから同じゴールにたどり着いと仮定する。

そこで、ゴールから逆にスタートに向かってたどっていったとする。

そうすると、スタートをゴール、ゴールをスタートとしてみなすと、この仮定は、1つのスタートから2つのゴールにたどり着くことにひとしい。 つまり、(2)の事実に反する。

したがって、

(3)の仮定は間違っていて(2)の”同じスタートから始める限りは、同じゴールにたどり着く”

というのは、常に正しいことが分かる。

すなわち、スタートとゴールの一対一対応が常に成り立っていると言える。
(証明終わり)

理屈は簡単です。

ただ縦に数本の線を（横線なしに）引いてみましょう。
当然、かぶることなく、それぞれの線はただまっすぐに真下のゴールにつながりますね。
それと同じことなんですよ。

２本の縦線に１本の横線があれば、右は左に、左は右にスイッチしますからやっぱりかぶらない。
あとはその理屈があちこちにあるだけ。

もっと実感として納得したければこういう実験をしてみてください。

毛糸など実際の糸やひもを沢山用意して、それであみだくじ状のものを作ります。
ルールは１つ。２本の糸が決して縦に重ならないこと。（横は重なります）