ルート2の近似値の計算方法・小数の求め方は?

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ルート2(2の平方根)のの近似値の計算方法は?

ルート2=1.4142356…と続いていきますが小数点以下の求め方は?

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ルート2の近似値の計算方法・小数の求め方は?

※「~の2乗」は、「^2」で表現しています。

1<2<4なので、√1<√2<√4です。
つまり、1<√2<2となります。
√2は1と2の間の数ということです。

ここで、
(1.1^2)=1.21、(1.2^2)=1.44、(1.3^2)=1.69、(1.4^2)=1.96、(1.5^2)=2.25です。
1.96<2<2.25なので、√(1.4^2)<√2<√(1.5^2)です。
つまり、1.4<√2<1.5となります。
√2は1.4と1.5の間の数ということです。

(1.41^2)=1.9881、(1.42^2)=2.0164です。
1.9881<2<2.0164なので、√(1.41^2)<√2<√(1.42^2)です。
つまり、1.41<√2<1.42となります。
√2は1.41と1.42の間の数ということです。

これをずっと繰り返していくと、√2の近似値が求まります。

平方根の近似値を求める漸化式 背景

他のルート2(2の平方根)の近似値の計算方法・少数の求め方としては、

1.2/2=1

2.(2+1)/2=1.5

3.2/1.5=1.3333333333333333333333333333333

という3つの計算から小数を求めていくやり方もあります。

「2.(2+1)/2=1.5」からまず、2の平方根(ルート2)は少なくとも1.5よりも小さいことがわかります。

「3.2/1.5=1.33…」からは2の平方根(ルート2)は少なくとも1.33…よりも大きいことがわかります。

以上から、

1.33… < 2の平方根(ルート2) < 1.5

ということがわかります。

試しに、「1.33…」と「1.5」のちょうど中間のつまり平均値を計算すると、

( 1.333 + 1.5 ) ÷ 2 = 1.4165

となります。

このとき、「1.4165」が2の平方根(ルート2)であるならば、この数で2を割り算したときに同じ数字「1.4165」になるはずです。

例えば、16のの平方根(ルート16)は4ですが、16を4で割り算したときの答え(16÷4)は同じ数の「4」になりますよね。

2を「1.4165」で割り算すると、

2 ÷ 1.4165 = 1.41193

という結果になり、答えは「1.4165」よりも小さい「1.41193」という数字になってしまいました。

ということは、2の平方根(ルート2)は少なくとも「1.4165」より小さくて「1.41193」よりも小さいことがわかります。

1.41193… < 2の平方根(ルート2) < 1.4165…

そこで先ほどと同じように、「1.4165」と「1.41193」の中間の値、詰まり平均値を計算すると、

( 1.4165 + 1.41193 ) ÷ 2 = 1.414215

となります。

同じく「1.414215」で2の割り算をしてみると、

2 ÷ 1.414215 = 1.41421212

となり、小数点5ケタまで数値が一致しました。

さらにこの2つの数字の中間の値・平均値を計算すると、

( 1.414215 + 1.41421212 ) ÷ 2 = 1.41421356

私たちが良く知っているルート2(2の平方根)の値とほぼ一緒になってきました。

念のため、さらにもう一度、計算を繰り返してみると…

2 ÷ 1.41421356 = 1.414213564746

( 1.41421356 + 1.414213564746 ) ÷ 2 = 1.414213562373

「1.414213562373」同士を計算すると、

1.414213562373 × 1.414213562373 = 1.999999999999731161391129

となり、ほとんど 2になることがわかります。

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