ルート5の近似値の計算方法・小数の求め方は?

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ルート5(5の平方根)の近似値の計算方法は?

ルート5=2.23606…と続く無限小数となっていて割り切れないものの小数点以下の求め方は?

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ルート5近似値の計算方法・小数の求め方その1ニュートン法

ルート5など無限小数で割り切れない平方根の計算は近似値をニュートン法で求めるのが収束が早いのでおすすめです。

1.5/5=1

2.(5+1)/2=3

3.5/3=1.66666…

という3つの計算から小数を求めていくやり方もあります。

「2.(5+1)/2=3」からまず、5の平方根(ルート5)は少なくとも3よりも小さいことがわかります。

「3.5/3=1.66666…」からは5の平方根(ルート5)は少なくとも1.6666…よりも大きいことがわかります。

以上から、

1.66666… < 5の平方根(ルート5) < 3

ということがわかります。

試しに、「1.6666…」と「3」のちょうど中間のつまり平均値を計算すると、

( 1.6666… + 3 ) ÷ 2 = 2.33333…

となります。

このとき、「2.33333…」が5の平方根(ルート5)であるならば、この数で5を割り算したときに同じ数字「2.33333…」になるはずです。

例えば、256の平方根(ルート256)は16ですが、256を16で割り算したときの答え(256÷16)は同じ数の「16」になりますよね。

5を「2.33333…」で割り算すると、

5 ÷ 2.33333… = 2.14285714…

という結果になり、答えは「2.33333…」よりも小さい「2.14285714…」という数字になってしまいました。

ということは、5の平方根(ルート5)は少なくとも「2.14285714…」より小さくて「2.33333……」よりも大きいことがわかります。

数式っぽく表現すると次のようになります。

2.14285714… < 5の平方根(ルート5) < 2.33333…

そこで先ほどと同じように、「2.33333…」と「2.14285714」の中間の値、つまり平均値を計算すると、

( 2.14285714… + 2.33333… ) ÷ 2 = 2.23809524…

となります。

同じく「2.23809524…」で7の割り算をしてみると、

7 ÷ 2.23809524… = 2.20425534…

となります。

さらにこの2つの数字の中間の値・平均値を計算すると、

( 2.23809524… + 2.20425534… ) ÷ 2 = 2.2360689…

冒頭で紹介したルート5(5の平方根)の近似値とほぼ一緒になってきました。

念のため、さらにもう一度、計算を繰り返してみると…

5 ÷ 2.2360689… = 2.23606706…

( 2.2360689… + 2.23606706… ) ÷ 2 = 2.23606798…

「2.23606798…」同士を計算すると、

2.23606798… × 2.23606798… = 4.9999999…

となり、ほとんど5になることがわかります。

ルート5近似値の計算方法・小数の求め方その2

ルート5のように無限小数で割り切れない平方根のは近似値を計算するには、他にもべき乗で挟み撃ちしていく方法もあります。

1^2(1の2乗) = 1
2^2(2の2乗) = 4
3^2(3の2乗) = 9
4^2(4の2乗) = 16
5^2(5の2乗) = 25

となっていることから、

ルート5(5の平方根)は「2^2(2の2乗)」と「3^2(3の2乗)」の間に来ることがわかります。

2^2(2の2乗) = 4 < ルート5(5の平方根) < 3^2(3の2乗) = 9

つまり、ルート5(5の平方根)の整数部分の値は少なくとも「2以上・3以下」となることから、「2」だということがわかります。

次に、小数点1位以下の値を求めるために、2.○の小数で2乗した値を並べていきます。

2.1^2 =4.41
2.2^2 =4.84
2.3^2 =5.29
2.4^2 =5.76
2.5^2 =6.25
2.6^2 =6.76

「2.2^2 =4.84」から「2.3^2 =5.29」で1の位が4から5になっているので、

ルート5(5の平方根)は「2.2^2 =4.84」と「2.3^2 =5.29」の間に来ることがわかります。

つまり、ルート5(5の平方根)の小数第1位の値は少なくとも「2以上・3以下」となることから、「2」だということがわかります。

ここまでで、ルート5(5の平方根)の近似値は少なくとも2.2だということがわかります。

小数点第2位以下も同じように、

2.21^2
2.22^2
2.23^2
2.24^2
2.25^2
2.26^2
2.27^2

の値をそれぞれ計算していき、整数部分が4から5に増える場所の数字を求めていくことで、ルート5(5の平方根)の近似値「2.23606…」を計算することができます。

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