確率でP・Cの違いは?場合の数と確率で順列Pと組み合わせC|高校数学A

スポンサーリンク
デフォルト 0未分類

確率のPとCの違いは?

高校数学の「場合の数と確率」で順列Pと組み合わせCを習いますが違いは?

スポンサーリンク

確率でP・Cの違いは?場合の数と確率で順列Pと組み合わせC|高校数学A

「P」は順列のpermutationの頭文字です。
「C」は組合せのcombinationの頭文字です。

「P」はn個のものからr個のものを『選び、並べる』作業をします。
「C」はn個のものからr個のものを『選ぶ』作業です。

つまり「P」は「C」の延長上です。

例えばabcdの4つから2つを並べる順列と、2つを選ぶ組合せで考えてみます。

○順列P

公式:4P2=4×3=12
1つ目にaを選ぶと2つ目はbcdのどれかなので3通り。
1つ目がbcdの場合も同じく3通りずつあるので、
4×3=12
となります。

○組合せC

公式:4C2=(4×3)/(2×1)=6
組合せは順番がないので、
abとbaはどちらもaとbを選んでいるので同じものと考えます。
他も同じのが2つずつ出てくるので、実際の組合せはちょうど2で割った数になります。
よって 12÷2=6 です。

同じように、5人の生徒のうち1人を会長、もう1人を副会長に指名します。
このとき使うのは「P」です。
5人の生徒からまず2人を選ぶのはわかると思います。
仮にAとBが選ばれたとします。
このとき、Aが会長でBが副会長の場合とAが副会長でBが会長の場合が考えられます。
したがって、並び替える必要があるので「P」を使います。
会長、副会長のように区別する必要がある場合は「P」です。

では、上記の問いで会長、副会長の区別がなければどうでしょうか。
この場合ただ単に5人から2人を選ぶだけなので「C」になります。

また、階乗(!)をご存知でしょうか。
「P」=「C」×「!」であるのです。

まとめ:確率でP・Cの違いは?場合の数と確率で順列Pと組み合わせC|高校数学A

順列と組合せなので、選ぶ順番が関係あるかないかで決まります。

関係ある→P
関係ない→C

異なるn個のものからr個を取り出す方法の数が nCr です。

異なるn個のものからr個を取り出し、
さらにそのr個に順番をつける方法の数が、 nPr です。

例1
1,2,3,4,5から3つの数字を選んで『並べる』のであれば順番も関係あるので(123と213では違いますよね)
5P3通り
1,2,3,4,5から3つの数字を選ぶだけであれば順番は関係ないので(選ぶだけなので123と213は同じ選び方ですよね)
5C3通り

例2
10人の中から委員長、副委員長、書記の3人を選ぶなら、誰を委員長にするなど順番が関係するので
10P3通り
10人の中から委員を3人選ぶなら、誰から選ぼうが同じなので
10C3通り

通常は、問題文に
「選ぶ」、「組み合わせ」という言葉があれば、nCr、
「並べる」、「順列」という言葉があれば、nPr
と判断することが多いですが、例外もあります。

たとえば、40人の中から、委員長、書記、会計を選ぶ場合の数は
40C3ではなく、40P3通りになります。

なぜなら、
選んだ3人に、委員長、書記、会計という名前をつけているからです。
これは、
選んだ3人に、1番、2番、3番という名前をつけるのと同じです。
さらにいうと、
40人の中から3人を1列に並べたのと同じことになります。
端から1番目の人、2番目の人、3番目の人、ということになりますから。
したがって、この場合は、40P3通りになるのです。

また、なぜ40C3ではいけないのかというと、
40C3で計算できるのは、
40人の中から3人にただ出てきてもらうだけの場合、それが何通りあるか
ということだからです。
3人出てきただけでは、その中の誰が委員長で書記で会計かまでは決まりません。

一般に、nCrとnPrのどちらを利用して解けばよいのかを判断するのは、
最終的には問題文をしっかり読むこと、と言うほかありません。
ただ取り出すだけでよいのならnCrですし、
何らかの意味で取り出したものの間で順序をつけるのであれば、nPrです。

タイトルとURLをコピーしました