√2(ルート2)が無理数の証明(背理法)

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√2(ルート2)が無理数であることを背理法で証明の解説。

背理法なので、√2(ルート2)が有理数であると仮定して矛盾を導き出す言ことで√2(ルート2)が無理数だと証明することになります。

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√2(ルート2)が無理数の証明(背理法)

√2が有理数であると仮定するとpとqを互いに素な自然数とすると、

√2 = p/q

と表すことができる。

この等式の両辺にqをかけて

q√2=p

等式の両辺を二乗して

2q^2=p^2・・・[1]

これよりp^2は2の倍数だからpも2の倍数である。

従ってp=2kとおいて[1]に代入して計算すると

q^2=2k^2

となりqも2の倍数となる。

このことはpとqが互いに素な自然数であることと矛盾する。

右辺が偶数なので左辺も偶数となる、つまりnは偶数となる。このときnとmが共通因数2を持つことになり互いに素に矛盾する。

従って背理法により√2は無理数である。

√2(ルート2)が無理数の証明(背理法)の解説

nを整数すると

「n^2が2の倍数⇒nも2の倍数」

を利用しています。

2が有理数だと仮定する。

√2が有理数なら既約分数
(これ以上約分できない分数)で

a/b
(ただしaとbは互いに共通の約数を持たない、互いに素な自然数)

とする。

√2、これを2乗すると、

2=a^2÷b^2つまり、

a^2=2×b^2である。

ここで、右辺が偶数なので左辺はもちろん偶数である。

a^2が偶数ならばaはもちろん偶数

ここでa=2c(cは自然数)とすると

4c^2=2b^2

2c^2=b^2

となり、同様にbも偶数となる。

しかしaもbも偶数だとするとこれはaとbが互いに素であることに反する。

つまり仮定である√2が有理数であることが間違っている。よって√2は無理数。

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