ルート×nが自然数となる最小となるnの値の求め方・解き方は?

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ルート480n(√480×n)が自然数となるような最も小さい自然数nの値の求め方・解き方は?

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ルート×nが自然数となる最小となるnの値の求め方・解き方は?


ルート480n(√480×n)が自然数となるような最も小さい自然数nの値を求めなさい

こうした問題を解くために、まず自然数となるためには、根号の中の値が全て二乗(同じ素数による掛け算)で構成することを目指していきます。

そのために、まず480を素因数分解すると、

480 = (2^5)×3×5

となります。

ここからまず、二乗(同じ素数による掛け算)で構成されている部分を探していきます。

(2^5)に関しては、

(2^5) = (2^4)×2

となるので、

480 = (2^4)×2×3×5

と書き換えることができます。

(2^4)に関しては二乗(同じ素数による掛け算)されていることが分かります。

残りの

2×3×5

に関しては2乗になっていないので、それぞれの数字と同じ数字を用意すれば2乗にできます。

つまり、nには「2×3×5」という数字を用意すれば良く、答えは「30」となります。

例題:ルート×nが自然数となる最小となるnの値の求め方・解き方は?

■例題1:・√264nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。

264=2×2×2×3×11
√264nが自然数になるためには√の中身がなにかの二乗になっていればいいので
この場合の最小のnは2×3×11で66

√n分の1080が自然数になるためには、n分の1080がなにかの二乗になっていればいいので
1080=2×2×2×3×3×3×5
よって最小のnは2×3×5=30

■例題2:√280/nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ

280=2×2×2×5×7 だから、2×2はまず根号の外に出せる

√(280/n)=2√(70/n)

70には、平方数になる因数はもう含まれていないから、nは70以外にない。

■例題3:√360n 自然数になるような最小の自然数nを求めよ

360を素因数分解すると
2^33^25
なので、各因数が偶数となるようにするには
2*5=10
を掛ければよい。
∴n=10

■例題4:√126n が自然数になるような最小の自然数nの求めよ

126を素因数分解すると
2、3、3、7となります
素因数分解した後に同じ数字が偶数こあれば
ルートが取れるのでこの場合だと
2、7を126に掛けると
1764となりこれは42×42なので
ルートが取れて自然数になります。

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