数学でexpの意味は?ネイピア数(自然対数)が底の指数関数?

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数学の式で使用する exp の意味は?

数学の記号で「exp()」は主に指数関数の微分・積分を習う所で登場しますが、にはどんな意味があるんでしょうか?

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数学でexpの意味は?ネイピア数が底の指数関数?

指数関数・対数関数の微分にはネイピア数の存在が必須ですが、数学の式で使用する exp の意味はネイピア数(自然対数)を底とした指数関数の意味です

exp(x)=e^x

ネイピア数 e は自然対数の底で 無理数です。

ネイピア数が最初に発見されたのは複利計算の研究からのようで、単利での利率が100%/年のとき、利息を元金に組み込む期間を無限に細かくすると1年後の総額は元金の2.718・・・倍になるという、これは要するにネイピア数の定義そのものです。

もうひとつは関数 y=1/x 、いわゆる反比例のグラフを積分するとどうなるかという問題でしょう。
一般に冪関数を積分すると
∫x?dx=x??1/(n+1)+C
となり、この公式はnが自然数のときだけでなく、一般的な実数の場合でも適用できますが、n=-1のときだけは適用できません。
∫(1/x)dx=∫x?1dx=xo/0+C (?)
この問題に対する答がいわゆる自然対数関数であって、この対数の底がネイピア数になります。
∫(1/x)dx=ln|x|+C
それに関連して、自然対数は常用対数よりも先行して研究が進められていたようです。

数学、物理では 円周率 π とともに ネイピアス e は重要な数で 頻繁にでてきます。

具体的な値は
e = 2.718…
で 指数関数

y = e^x
として、あるいは対数関数
y = log(x)
として出てきます。数Ⅲ以降は 底の省略時は e で、自然対数を表す。

数Ⅱで微分を学習したのであれば
y = f'(x)
という記述方法を学習したことと思いますが

指数関数
f(x) = e^x
は微分しても導関数は
f'(x) = e^x
と関数の形を変えることのない唯一の関数であることからいろいろなところ使われます。

e^x を n次の多項式であらわすと

e^x
= 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + …
と整式で表すことができ、

微分しても
(e^x)’
= 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + …

となっています。

三角関数、複素数とも相性がよく
e^iθ = cosθ + i・sinθ
と 指数関数、三角関数、複素数の橋渡しをする重要な数です。
※数Ⅲで学習すると思います。

この式に θ = π を代入すると
e^iπ = cosπ + i・sinπ = -1
となります。

まとめ:数学でexpの意味は?ネイピア数が底の指数関数?

expはexponential function(指数関数)を意味します。

e=2.71828…(自然対数の底、Napierの数)

で、exp(a)はe^aと書きますが、これは「eのa乗」を意味します。

exp(A+B)は「eの(A+B)乗」です。

ネイピア数はどんな時に活躍するのかというと、例えば三角関数を簡単にするとき。

例えば

e^(i x) = cos(x) + i sin(x)
であるから
e^(i (-x)) = cos(x) – i sin(x)
となりこれより
cos(x) = e^(ix) + e^(i (-x)) / 2
とできる。

つまり cos(x) はネイピア数を使うと指数関数で表すことができ、三角関数を容易に扱えるようになる。

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