五角形の面積の求め方・公式は?

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五角形の面積の求め方は?公式はある?

三角関数を使わずに、正五角形の面積を求める計算方法はあるんでしょうか?

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五角形の面積の求め方・公式は?

正5角形の面積は、1辺の長さが a の場合に

5×(aの2乗)÷(4×tan(π/5))

です。

πは円周率、tanはタンジェントです。

ここでの角度の単位はラジアンです。180度=πラジアン

正五角形の1辺をa として、面積Sを求めてみます。

答えに三角関数を使ってよい場合

正五角形の中心Oと各頂点とを結び5つに分割し、1つの三角形を△OABとします。
そして、OからABに下ろした垂線をOHとすると、HはABの中点となり AH=a/2
∠AOB=(360/5)°=72°となり、∠AOH=36°
∴ ∠OAH=(90-36)°=54°
OH=AO・tan54°=a・tan54°/2
よって、△OAB=(1/2)・a・(a・tan54°/2)=a^2・tan54°/4 ・・・・①

したがって、この正五角形=5・△OAB=(5/4)・a^2・tan54°
となります。

(近似値を知りたければ、ここで三角関数表やエクセル・関数電卓などを使えばよいでしょう)

三角関数を使わずに正五角形の面積を求めるには逆に計算が複雑になりすぎるのであまり現実的ではありません。

参考までに正多角形(正n角形(nは4以上))の面積の求め方は

正n角形の1辺をaとする

正n角形に外接する円の半径をrとする

外接円の中心と、正n角形の隣り合う2頂点がつくる3角形で考える

外接円の中心の為す角度をθとする

この3角形の面積は

rsin(θ/2)r*cos(θ/2)

だから、正n角形の面積S(n)は

S(n) = nr^2*sin(θ/2)cos(θ/2) ・・・ (1)

ここで

rsin(θ/2) = a/2 ・・・ (2) rcos(θ/2) = √{r^2 – (a/2)^2} ・・・ (3)

ここで θ=2π/n だから

r = a/{2sin(π/n)} ・・・ (4)

(3)に(4)を代入して

r*cos(θ/2)

= √{(a/2)^2*1/sin^2(π/n) – (a/2)^2}

= (a/2)*√{1/sin^2(π/n) – 1} ・・・ (5)

(1)に(2)と(5)を代入すると

S(n)

= (na^2/4)√{1/sin^2(π/n) – 1}

= na^2 / 4tan(π/n)

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