sin二乗xの積分の答えは?解法・解き方は?

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sin二乗xの積分の答えを求める方法は?

sin二乗xの積分はどんな解法・解き方で求めることができるんでしょうか?

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sin二乗xの積分の答えは?解法・解き方は?

sin二乗x(以降はsin~2(x))の積分は三角関数の『半角の公式』から

sin~2(x) = (1-cos(2x))/2

∫sin~2(x) dx=∫(1-cos(2x))/2 dx=x/2-(sin2x)/4+C

sin^2(x)の0からπまでの定積分の答えはπ/2になりますね。

ちなみに、(1/sin2乗x)の積分のやり方は、

半角の公式から、

∫dx/sin^2(x)=2∫dx/{1‐cos(2x)}

分母に sin(2x) やら cos(2x) がある場合には一般に、
tan(x)=t と置くとtの有理式の積分に帰着出来ます。

すると、

dx=cos^2(x)・dt=dt/(1+t^2)

tan^2(x)=t^2={1‐cos(2x)}/{1+cos(2x)} より、
cos(2x)=(1‐t^2)/(1+t^2)

2∫dx/{1‐cos(2x)}
=∫dt/t^2
=‐(1/t)+C
=‐{1/tan(x)}+C
=‐cot(x)+C

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