ルート3（√3）が無理数であることを背理法で証明する中学数学レベルでの解説。
背理法なので、ルート3（√3）が無理数ではなく有理数であると仮定して矛盾を導き出す言ことで√3（ルート2）が無理数だと証明することになります。
ルート3（√3）が無理数の証明（背理法）中学数学
■前提：有理数と無理数の見分け方
分数にならない数が無理数で、分数になる数は有理数です。
０．１４２８５７１・・・・＝１/７ 有理数。
０．１６６６６６６６・・・＝１/６ 有理数。
０．３３３３３３３３・・・＝１/３ 有理数。
√２＝１．４１４２１３５６ ・・・ 無理数。
√３＝１．７３２０５０８０ ・・・ 無理数。
√４＝２ 有理数。
√９＝３ 有理数。
π＝３．１４１５９２６５３・・・＝無理数。
逆に言えば、有理数は整数の比(n/m)として表せる数で、それ以外は無理数となります。
循環しない無限小数が無理数です。
ルート3（√3）が有理数であると仮定するとpとqを互いに素な自然数とすると、
√3 = p/q
と表すことができる。
この等式の両辺にqをかけて
q√3=p
等式の両辺を二乗して
3q^2 = p^2・・・[1]
これよりp^2は3の倍数だからpも3の倍数である。
従ってp=3kとおいて[1]に代入して計算すると
q^2 = 3k^2
となりqも3の倍数となる。
このことはpとqが互いに素な自然数であることと矛盾する。
右辺が偶数なので左辺も偶数となる、つまりnは偶数となる。このときnとmが共通因数2を持つことになり互いに素に矛盾する。
従って背理法により√3は無理数である。
√3（ルート3）が無理数の証明（背理法）の解説
nを整数すると
「n^2が3の倍数⇒nも3の倍数」
を利用しています。
3が有理数だと仮定する。
√3が有理数なら既約分数
(これ以上約分できない分数)で
a/b
(ただしaとbは互いに共通の約数を持たない、互いに素な自然数)
とする。
√3、これを2乗すると、
3 = a^2÷b^2つまり、
a^2=3×b^2である。
ここで、右辺が偶数なので左辺はもちろん偶数である。
a^2が偶数ならばaはもちろん偶数
ここでa=3c(cは自然数)とすると
9c^2=3b^2
3c^2=b^2
となり、同様にbも偶数となる。
しかしaもbも偶数だとするとこれはaとbが互いに素であることに反する。
つまり仮定である√3が有理数であることが間違っている。よって√3は無理数。
