2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルの求め方は？
「a→=(3.4)に垂直な単位ベクトルを求めよ。」という問題の解き方は？
ベクトルAに垂直な単位ベクトルの求め方の考え方｜高校数学B
ベクトルaに垂直な単位ベクトルの求め方は、以下の手順で考えていきます。
- ベクトルaと垂直なベクトルの内積を0にする
- 求めるベクトルの長さを1にする
ベクトルaと垂直なベクトルの内積を0にすると、求めるベクトルは、ベクトルaのx成分とy成分の比が定まります。
ベクトルa=(x1,y1)に垂直なベクトル は、 ベクトルu=（y1,-x1)、ベクトルv=（-y1,x1) をベースにして作れます。
ベクトルAに垂直な単位ベクトルの求め方の考え方｜高校数学B
ベクトルaに垂直な単位ベクトルの求め方について、
ベクトルa＝(－4.3)
を例に説明します。
ベクトルが垂直とは、内積が0になることです。
内積とは、2つのベクトルのなす角度が90度のときの積です。
ベクトルa=(-4,3)と、求めるベクトル(a,b)の内積を計算すると、
(-4,3) ? (a,b) = -4a + 3b
この式を0にすると、
-4a + 3b = 0
となります。
この式を解くと、
a = 3/4 b
となります。
また、単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルです。
ベクトルの長さは、内積を自己内積で割ることで求めることができます。
ベクトルの長さ = √(ベクトル ? ベクトル)
ベクトルa=(-4,3)の長さは、
√(-4 -4 + 3 3) = 5
となります。
よって、ベクトルa=(-4,3)に垂直な単位ベクトルは、
(a,b) = (3/5, 4/5)
となります。
このベクトルの長さは、
√((3/5) (3/5) + (4/5) (4/5)) = 1
となります。
また、もう一つの単位ベクトルは、
(a,b) = (-3/5, -4/5)
となります。
このベクトルの長さも、1となります。
■補足
ベクトルa=(-4,3)は、x軸の負の方向に4、y軸の正の方向に3進むベクトルです。
求めるベクトル(a,b)も、x軸の負の方向に4、y軸の正の方向に3進むベクトルであれば、ベクトルa=(-4,3)に垂直になります。
しかし、ベクトルの長さが1である必要があるため、ベクトルa=(-4,3)の長さの1/5倍の長さで、x軸の負の方向に4、y軸の正の方向に3進むベクトルが、ベクトルa=(-4,3)に垂直な単位ベクトルとなります。
このベクトルは、(3/5,4/5)となります。
また、ベクトルa=(-4,3)の反対方向に進むベクトルも、ベクトルa=(-4,3)に垂直になります。
このベクトルは、(-3/5,-4/5)となります。
このように、ベクトルa=(-4,3)に垂直な単位ベクトルは、(3/5,4/5)と(-3/5,-4/5)の2つとなります。
2つのベクトルに垂直な単位ベクトルの求め方｜高校数学B
2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルの求め方について。
ベクトルa→=(2、1、3)
ベクトルb→=(1、-1、0)
とすると、
■ベクトルaとbの成分を確認します。
ベクトルaは(2, 1, 3)、ベクトルbは(1, -1, 0)と与えられているとします。
■内積の条件を考えます。
垂直なベクトルを求めるためには、ベクトルaと求めるベクトルとの内積が0になる必要があります。この条件を式に表すと次のようになります。
2x + y + 3z = 0 (ここで、(x, y, z)が求めるベクトルの成分)
■もう一方のベクトルbに対しても内積の条件を考えます。
同様に、ベクトルbと求めるベクトルとの内積が0になる条件を式に表すと次のようになります。
x – y = 0
■単位ベクトルの大きさの条件を考えます。
単位ベクトルの大きさは1です。そのため、求めるベクトルの成分x, y, zに関する大きさの条件を式に表すと次のようになります。
√(x^2 + y^2 + z^2) = 1
■3つの方程式を同時に解きます。
上記の条件を同時に解くことで、ベクトルaとbの両方に垂直な単位ベクトルの成分x, y, zの値を求めることができます。
■解が2つあることに注意します。
この方法で解を求めると、解が2つ得られることになります。これは、ベクトルの向きが反対の場合を含めて解を求めるためです。
■最終的な解を確認します。
得られた2つの解が単位ベクトルの条件を満たしているか確認し、最終的な解を求めます。
