ゼロのゼロ乗が1になる理由は？
0の0乗はなぜ1になるんでしょうか？3や4などの0乗が1になるのはどうして？
0の0乗はなぜ1？ゼロのゼロ乗が1になる理由
結論から言うと、0の0乗は一般的な認識として定義されていません。0でもなければ1でもありません。
理由は、それが一般的な認識だからとしか言いようがないと思いますが0の0乗を決めるときに、考え方によって妥当な決め方が違うからでしょう。
「複素数の複素数乗」という概念の、現時点で最も包括的と考えられる定義の、定義域に含まれていないということです。
xのy乗
x,yを0に近づければ0の0乗になりますが、近づける順番で結果は違います。
x=0を先に行って、
0のy乗
これはy→0において0になります。つまりこの結果からは「0の0乗は0」が自然です。
y=0を先に行って、
xの0乗
これはx→0において1になります。この結果からは、「0の0乗は1」が自然です。
どちらに決めても片方の整合性が取れないので、定義しない、としているわけです。
分かりやすく説明するために、例を挙げてみましょう。たとえば、2の3乗は2 × 2 × 2で8になります。また、2の2乗は2 × 2で4になります。このように、累乗は、同じ数を何回かかけたものを表します。
ただし、0のn乗（nは0以外の自然数）は必ず0になります。これは、0を何回かかけても結果は0になるためです。しかし、0の0乗の場合は、0を何回かけても答えが一意に定まらないため、定義によって1とされています。
例えば、1のn乗は必ず1になるというルールがあります。このルールに従えば、0の0乗も1になるのです。
証明：0の0乗はなぜ1？ゼロのゼロ乗が1になる理由
0の0乗は、数学の分野によって定義が異なります。
代数学や組合せ論などでは、0の0乗は1と定義されることが多いです。解析学では、0の0乗は定義されない場合があります。
0の0乗は、0÷0と同じです。
0÷0は、0を何回足しても0にならないということです。
つまり、0÷0は「無限個の0を足す」ということです。
無限個の0を足すということは、無限個の1を掛けるということです。
無限個の1を掛けるということは、1の無限乗ということです。
1の無限乗は、1になります。
よって、0の0乗は1になります。
証明：0の0乗はなぜ1？ゼロのゼロ乗が1になる理由｜小学生にもわかりやすく
0の0乗が1になる理由は、べき乗の法則を一般化するためです。べき乗の法則とは、例えば2の3乗と2の2乗をかけると2の5乗になるというような法則です。この法則を使うと、2の3乗を2の0乗で割ると、2の3-0=3乗になります。つまり、2の0乗は1でなければいけません。同じように、どんな数でも0乗すると1になります。
では、0の0乗はどうでしょうか？これもべき乗の法則を使って考えてみましょう。例えば、0の3乗と0の2乗をかけると、0の5乗になります。この法則を使うと、0の3乗を0の0乗で割ると、0の3-0=3乗になります。つまり、0の0乗は1でなければいけません。
しかし、これは少し問題があります。なぜなら、0で割ることはできないからです。0で割ると答えが無限大になってしまいます。だから、実はこの方法では0の0乗が1になることを証明できません。
では、他にどうやって証明できるでしょうか？実は、これは数学者たちも悩んだ問題です。一つの答えは、極限という考え方を使うことです。極限とは、ある数がどんどん小さくなったり大きくなったりするときに、その数が近づく値を求めることです。
例えば、xがどんどん小さくなっていくときに、xのx乗はどうなるでしょうか？xが1より小さい場合は、xのx乗も小さくなっていきます。しかし、xが0に近づくときに、xのx乗はどんどん大きくなっていきます。実際に計算してみると、xがどんどん小さくなっても、xのx乗は1に近づいていきます。
つまり、
x→0+limxx=1
この式は、「xが正の方向から（つまり右から）ゼロに近づくときに、xのx乗は1に近づく」という意味です。
このことから、数学者たちは「0の0乗は極限的に1に近づく」と考えました。そして、「極限的に」という言葉を省略して、「0の0乗は1」と定義しました。
参考：0の0乗はなぜ1？ゼロのゼロ乗が1になる理由
数学的には、0の0乗は未定義とされています。つまり、0の0乗が0であるか1であるかは、文脈によって異なる解釈がされていることがあります。
一方で、一部の分野では、0の0乗が1とされていることがあります。これは、例えば、組み合わせ論や冪級数の定義などで使われる場合があります。
しかし、これらの分野でも必ずしも0の0乗が1となるわけではなく、文脈によっては未定義とされることもあります。
0の0乗が未定義であることを示す簡単な証明方法として、次のような説明ができます。
0のn乗を考える場合、nが正の整数であれば、0のn乗は0になります。なぜなら、0をn回掛けると、結果は必ず0になるためです。
一方で、nが負の整数であれば、0のn乗は未定義となります。これは、0を何回かけても、結果が0になることがないためです。
ここで、nを0とすると、0の0乗は何になるでしょうか。上記の議論から、0の0乗は0であるとすることもできますし、未定義とすることもできます。
しかし、通常の数学的な文脈では、0の0乗は未定義とされています。
