「96にできるだけ小さい自然数をかけて2乗にせよ」
などのように、数学で良く出題される「できるだけ小さい自然数をかけて2乗にする」問題の解き方について。
できるだけ小さい自然数をかけて2乗にする問題の解き方
ある自然数を2乗した結果、平方数（自然数を2乗して得られる数）をできるだけ小さい自然数をかけて作りたいとします。つまり、平方数をできるだけ小さな自然数をかけて生成したいのです。では、どうやって解くか、一緒に考えてみましょう。
まず、この問題を解くために知っておくべきことは、「平方数」や「素因数分解」です。平方数とは、ある自然数を2乗した数のことで、例えば4、16、81、144などが平方数です。この数字を素因数分解してみると、次のようになります：
4 = 2 × 2 （2が2個）
16 = 2 × 2 × 2 × 2 （2が4個）
81 = 3 × 3 × 3 × 3 （3が4個）
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 （2が4個、3が2個）
平方数を素因数分解すると、因数（素数のこと）が2つ1組になり、個数が偶数になることがわかります。これが重要なポイントです。
では、具体的な問題に取り組んでみましょう。問題は次の通りです
96にできるだけ小さい自然数をかけると、ある自然数の2乗になります。それでは、何をかけると平方数になるのでしょうか？
■解き方
まず、96を素因数分解します。96は次のように因数分解できます：
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
2が5個、3が1個含まれています。そして、平方数をできるだけ小さな自然数をかけて生成したいということです。
この場合、2を6個、3を2個にすることで無駄がなく最小になることがわかります。これによって、96に自然数をかけた結果が平方数になります。
答えは、2 × 3 = 6 です。
6を96にかけると、平方数である576（24 × 24）になります。このように、2乗にするためにできるだけ小さい自然数をかける場合、必要な因数を見つけて組み合わせることが大切です。
例題｜28にできるだけ小さい自然数をかけて2乗にする
28を自然数の2乗にするために必要な数字は何でしょうか？自然数の2乗を作るためには、素因数が同じ数字が偶数個含まれている必要があります。28の素因数分解では、2が2個、7が1個含まれています。この状態では2は偶数個含まれていますが、7は奇数個しかありません。
そこで、28を自然数の2乗にするには、2と7の両方を偶数個にする必要があります。2は既に偶数個含まれているので、7をもう1回かければ、28は自然数の2乗になります。計算すると、28 × 7 = 196 になります。そして、これは14 × 14という形になり、自然数を2乗した結果と同じになります。
まとめ：できるだけ小さい自然数をかけて2乗にする問題の解き方
できるだけ小さい自然数をかけて2乗にする問題の解き方のポイントは、
各素因数の数を偶数にすること
です。
120にできるだけ小さい自然数をかけて2乗にしたい場合、まず120を素因数分解すると、
120=2×2×2×3×5
2が3つ
3が1つ
5が1つ
あることがわかります。
ある数の2乗になるためには、各素因数の数を2つ、4つ…（2乗、4乗…）にすればよいので、足りない数字を補うと、
2が3つなので1つ足して4つ
3が1つなので1つ足して4つ
5が1つなので1つ足して4つ
とします。
つまりさらに 2×3×5 すれば、すべての数が2乗の形になります。
なので、かける数字は 2×3×5=30
どんな数の2乗かというと、
(2~4×3×5)×(2×3×5)=2~4×3~2×5~2=3600（60~2）
