数学の問題で0以上の整数を10進法で表すとき、nケタの総和の求め方は？
各桁が1,2,3のいずれかでそれら全てが用いられるn桁の自然数の総和の求めよといった問題の解き方は？
【数学】10進数の総和の求め方・解き方｜各桁が1、2
■問題
各桁の数が1または2であるｎ桁の整数を考える。それらすべての整数の総和をＴnとする。
0以上の整数を10進法で表すとき、Ｔnをnを用いて表せ。ただし0は0桁の整数とする。またｎは正の整数とする。
■解き方・求め方
各桁の数が1または2であるｎ桁の整数の総和をＴnとすると、Ｔnをnを用いて表すと以下のようになります。
まず、各桁が1の場合、すなわち1がn個並んだ数を考えます。この数は、111…1（n個）と表すことができます。この数の値は10のn乗から1を引いた値になります。
次に、各桁が2の場合、すなわち2がn個並んだ数を考えます。この数は、222…2（n個）と表すことができます。この数の値は、2 × (111…1)（n個）となります。
したがって、Ｔnは以下のように表されます。
Ｔn = (10^n – 1) + 2 × (111…1)（n個）
なお、111…1（n個）は「111…1」をn個並べた数を意味します。
例えば、n = 3の場合、Ｔ3は以下のように計算できます。
Ｔ3 = (10^3 – 1) + 2 × (111)
= (1000 – 1) + 2 × 111
= 999 + 222
= 1221
したがって、Ｔ3 = 1221となります。
【数学】10進数の総和の求め方・解き方｜各桁が1、2、3
各桁の数が1または2または3であるｎ桁の整数の総和をＴnとすると、Ｔnをnを用いて表すと以下のようになります。
まず、各桁が1の場合、つまり1がn個並んだ数を考えます。この数は、111…1（n個）と表すことができます。この数の値は10のn乗から1を引いた値になります。
次に、各桁が2の場合、つまり2がn個並んだ数を考えます。この数は、222…2（n個）と表すことができます。この数の値は、2 × (111…1)（n個）となります。
さらに、各桁が3の場合、つまり3がn個並んだ数を考えます。この数は、333…3（n個）と表すことができます。この数の値は、3 × (111…1)（n個）となります。
したがって、Ｔnは以下のように表されます。
Ｔn = (10^n – 1) + 2 × (111…1)（n個） + 3 × (111…1)（n個）
なお、111…1（n個）は「111…1」をn個並べた数を意味します。
例えば、n = 3の場合、Ｔ3は以下のように計算できます。
Ｔ3 = (10^3 – 1) + 2 × (111) + 3 × (111)
= (1000 – 1) + 2 × 111 + 3 × 111
= 999 + 222 + 333
= 1554
したがって、Ｔ3 = 1554となります。
以上が、各桁の数が1または2または3であるｎ桁の整数の総和Ｔnをnを用いて表した方法です。
