√iの答えは?複素数(虚数)の平方根(ルート)を求めるには?

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√iの値を求めるには?

虚数について、ルートi=i となる?

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√iの答えは?複素数(虚数)の平方根(ルート)を求めるには?

2乗して-1になる数がiなのでルートi=i とはなりません。

√iは複素数だから

√i=x+iy(x、yは実数)と実数部と虚数部に分けた表記ができます。

両辺二乗すると

i=x^2-y^2+2xyi

複素数の相等より

x^2-y^2=0
2xy=1

これを解くと

x=1/√2、y=1/√2

または
x=1/√2、y=-1/√2

または
x=-1/√2、y=1/√2

または
x=-1/√2、-1/√2

よって
√i=(±1±i)/√2(もしくは±(1/√2+i/√2))

正負反転した値とどちらを採用するかははっきりしません。

√の中身が負の数のときは平方根のうちiの係数が正の方をとるという規則がありますが,√の中身が虚数のときに平方根のどちらを√とするかについては中身が実数のときのような定着したルールはありません。

複素数に拡張した世界では、あまりにもパターンが多いために、決め方を規定することができません。

くわしい理論は、大学で複素平面とかド・モアブルの定理っていうのを習います
ので、それを勉強したらあきらかです。

横軸が実数部分、縦軸が虚数部分を表す「複素平面」っていう平面上で虚数iはふつうのxy平面でいうと(0,1)のところにあって、90度回転を表します。

2回でちょうど90度のところに来るような回転は、-180度と180度の間では、45度回転と-135度の2つだけで、それを表すような複素数が上で書いた「±(1+i)/√2」になります。

極形式を用いて解く場合、

i =1・{cos(2πN+π/2)+i sin(2πN+π/2)} (Nは整数) と表すことができます。

ド・モアブルの定理により、平方根は、絶対値が(1/2)乗、偏角が(1/2)倍の数なので、

(√1)・[cos{(2πN+π/2)/2}+i sin{(2πN+π/2)/2} ]
=1・cos(πN+π/4)+i sin(πN+π/4) となります。

これは、Nが

偶数のとき、(1+i)/√2、
奇数のとき、-(1+i)/√2

の値をとりますから、

iの平方根は、±(1+i)/√2……(答)となります。

■複素数の相等

○+△i=a+bi

このような式があったとしましょう。このとき左辺と右辺、「2つの複素数の実部と虚部は等しい」という性質が複素数にはあります。

a,b,c,dが実数のとき次のことが成り立ちます。

①a+bi=0 なら a=0 かつ b=0
②a+bi=c+di なら a=c かつ b=d

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